martes, 29 de septiembre de 2009

ECUACION DE PRIMER GRADO

ECUACION DE PRIMER GRADO


Para esto aplicamos el siguiente procedimiento:

1. Suprimimos signos de colección o agrupación.
2. Efectuamos reducción de términos semejantes en cada miembro.
3. Hacemos transposición de términos, escribiendo los que son independientes en uno de los miembros y los que no lo son en el otro miembro de la ecuación.
4. Volvemos a reducir términos semejantes.
5. Despejamos la incógnita.
Ejemplo:
1.- Resolver la siguiente ecuación:
7x – (2x–6) = (x+1) – (3x+2)
Solución:

PASO 1.- Suprimimos signos de colección:
7x – 2x + 6 = x + 1 – 3x – 2

PASO 2.- Reducimos términos semejantes en cada miembro:
5x+6 = –-2x-1

PASO 3.- Por transposición de términos:
5x + 2x = –6 –1

PASO 4.- Volvemos a reducir términos semejantes
En cada miembro: 7x = –7

PASO 5.- Despejamos “x” x = –7/7

Respuesta: x = –1

PRACTICA


Resolver cada una de las ecuaciones siguientes:


01) 7x + 5 – 2x = 8 + 4x – 2 RPTA: X=1//

02) 9x – 10 - 5x + 12 = x + 6 – 3x + 10 RPTA X=7/3

03) 7 - 3(x+1) = x – 3(x-1) RPTA X=-7//


04) 5 - (2x+1) = 9 - (2+3x) RPTA X=3


05) 5x – 2(x – 6) = 2x + 2(x – 1) RPTA: X=14


06) 3x + 1 - (x + 3) = 3(x + 1) RPTA: X=-5


07) 3x + 2 - (-1 – x) = - ( - x – 3) + 2x + 4 RPTA: X=4


08) 3(5x + 1) - 2(3 + 6x) = 2(-1 + x) RPTA: X=1


09) x + 5(-3 + x) = - 3(-x + 5) +2(x + 2) RPTA: X=4/-9


10) 4x – 3(-x – 1) + 4 = -2(x + 1) RPTA: X=-1


TAREA DOMICILIARIA


Resolver la ecuación:

01.- Resolver la ecuación:

8 - (-3x + 2) = -( -1+2x) + 15


a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) -1


EL RESULTADO ES : a=1//


02.- Calcular “x" ; en:

-5 + 4x + 10 – 6x = -7x + 8 + 4x – 10


a) {-6} b) {3} c) {-7} d) {4} e) {- 5}

EL RESULTADO ES: c=-7//

03.- Resolver e indicar el valor de "x".

5(x + 8) – 20 = -13 - 4(2x – 5)

a) - 1 b) - 2 c) - 3 d) 4 e) 2

EL RESULTADO ES : a=1//

04.- La solución de:

13 + 3(-2x – 3) = -7x + 8 ; es:

a) - 4 b) 4 c) 2 d) - 2 e) 8
EL RESULTADO ES : b=4//

05.- Hallar “x” ; en:

2x - [7 – x + (x - 2)] = 3

a) 4 b) 6 c) - 2 d) 3 e) 5
EL RESULTADO ES:a=4//

06.- Indicar la raíz de:
4x – 9 -(-5 - 2x) = -( -x - 7) + 6x - 8

a) {-5} b) {-4} c) {-3} d) {-2} e) {-1}
EL RESULTADO ES: b=-3//
07.- La solución de:

9x - 4(x - 2) = 3x - 2(x+5) ; es:


a) 6 b) -3 c) 4 d) -5 e) 2
EL RESULTADO ES:3//

08.- Resolver e indicar el valor de "x".

x – 2(-x + 1) = 3(x + 1) – 2(x + 4)

a) 2 b) - 1 c) 2 d) 2 e) 3
EL RESULTADO ES: -3/2//
09.- Resolver la ecuación:

4(2x – 3) + 10 – 5x = 1 – 2(x – 6)

a) { 6} b) { -2} c) {1} d) {4} e) {3}

ELRESULTADO ES: e=3//


10.- Resolverla ecuación:

5(-2x + 3) + 3(x – 2) = 2

a) x = 1 b) x = -3 c) x = 2 ­ d) x = - 4 e) x = 6

EL RESULTADO ES a=1//

PRACTICA


01.- Resolver:

RPTA: 12//

02.- Resolver:

RPTA: -5//

03.- Resolver:

RPTA:=19/6

04.- Resolver:

RPTA:=-5

05.- Resolver:

RPTA X=24

06.- Resolver:

RPTA: X=17

07.- Resolver:

RPTA: X=5/40

08.- Resolver:

09.- Resolver:


10.- Resolver:


11.- Resolver:

12.- Resolver:


13.- Resolver:


14.- Resolver:


15.- Resolver:

sábado, 26 de septiembre de 2009

PROBABILIDAD

Experimentos aleatorios. Espacio maestral.Experimentos o fenómenos aleatorios son los que pueden dar lugar a varios resultados, sin que pueda ser previsible enunciar con certeza cuál de éstos va a ser observado en la realización del experimento.Si dejamos caer una piedra o la lanzamos, y conocemos las condiciones iníciales de altura, velocidad, etc., sabremos con seguridad dónde caerá, cuánto tiempo tardará, etc. Es una experiencia determinista. Si echamos un dado sobre una mesa, ignoramos qué cara quedará arriba. El resultado depende del azar. Es una experiencia aleatoria.Suceso aleatorio es un acontecimiento que ocurrirá o no, dependiendo del azar.

EJEMPLO:

4.- Se lanzan dos dados al aire y se anota la suma de los puntos obtenidos. Se pide:
1.- La probabilidad de que salga el 7.
Solución.
Ω = {(1;6)(5,2)(4,3)(3,4)(2,5)(1,6)}
Ω = 6/12
Ω = ½
Ω = 0.5 Repta.

lunes, 14 de septiembre de 2009

SUCESOS Y EVENTOS




SUCESOS O EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES: Dos o más sucesos son mutuamente

excluyentes si la ocurrencia de uno cualquiera de ellos, imposibilita la ocurrencia de los otros.
De la teoría de conjuntos se sabe que dos o más conjuntos que no tengan puntos muéstrales en común su intersección es nula.
La probabilidad de ocurrencia de E1 o E2, es la suma de las probabilidades de cada uno.



EVENTOS SOLAPADOS: Dos eventos E1 y E2, son solapados si tienen puntos muéstrales comunes, los puntos muéstrales comunes a E1 y E2, forman un subconjunto llamado intersección de E1 y E2, y se representa por E1 E2.

La fórmula para calcular la probabilidad de dos eventos solapados es:

Donde:

Fórmula para tres eventos solapados:


EVENTOS COMPLEMENTARIOS: Dos eventos E1 y E2, son complementarios si el segundo es un subconjunto que contiene todos los puntos muéstrales del espacio muestral que no están en el primero. Los eventos complementarios, son a su vez mutuamente excluyentes:
S, representa el espacio muestral
, es el complementario de E, es decir, es lo que le falta a E, para se igual a S.
, se lee complementario de E ó “No E”

La probabilidad del espacio muestral es 1;

=


EVENTOS INDEPENDIENTES: Dos eventos E1 y E2 son independientes cuando la ocurrencia o no ocurrencia de uno de ellos en una prueba, no afecta la probabilidad del otro en cualquier otra prueba.
En el lanzamiento de una moneda la probabilidad de obtener cara es ½ y la probabilidad de obtener otra cara en otra prueba, es también ½. Por lo que los dos eventos E1 y E2.
La fórmula para buscar la probabilidad de que E1 y E2, aparezcan cuando sean independientes es:


EJEMPLO:

I. Se lanzan dos dados simultáneamente. Uno verde y uno rojo. ¿Cuál es la probabilidad de que

Procedimiento:
1. Se construye el espacio muestral (en un diagrama cartesiano), señalando los puntos muéstrales para cada dado.
2. Para el dado rojo existen 12 puntos muéstrales, que resultan de la combinación (1 y 2) con los puntos (1, 2, 3, 4, 5,6) del dado verde.
3. Para el dado verde existen 18 puntos muéstrales al combinar los puntos (4, 5 y 6), con los (1, 2, 3, 4, 5, 6) del dado rojo.
4. Se calcula la probabilidad para cada evento:
5. Se sustituye en la fórmula para eventos independientes:
6. También se obtiene el mismo resultado dividiendo los puntos muéstrales de la intersección de los dos eventos, por la cantidad de puntos muéstrales del espacio muestral.
7. Interpretación: Si se lanzan dos dados simultáneamente, uno rojo y otro verde, la probabilidad de que el verde muestre una cara con números mayores o iguales a 4 y el rojo, menores o iguales a dos, es de 1/6.


PROBABILIDAD CONDICIONAL: La probabilidad de que ocurra el evento E1, dado que el evento E2 ha ocurrido, se llama probabilidad condicional del evento E1. Se representa por y se lee “probabilidad de E1 dado E2”, y se determina a través de la expresión:

Es la cantidad de puntos muéstrales de la intersección de E1 y E2.
Es la cantidad de puntos muéstrales del evento E2.
EJEMPLOS:

Con los datos del problema 2, calcular la probabilidad de que una alumna sea seleccionada dado que la persona seleccionada estudie segundo año del C.B.C. del instituto en referencia.
Procedimiento:

1.H: es el evento ser alumna.
2.E2: Es el evento ser estudiante de segundo año.
3.Se pide la probabilidad de H dado E2:
4.Se aplica la fórmula para probabilidad condicional.

5.Interpretación: La probabilidad de que una alumna sea seleccionada dado de que sea de segundo año, es igual a 5/12.

EJEMPLO:

De la aplicación de una encuesta en una empresa de la Región Central, se sabe que el 40% de los obreros son mujeres y que el 20% de todas las obreras han iniciado estudios medios. ¿Qué probabilidad existe de que al seleccionar un obrero en forma aleatoria, hayan iniciado estudios medios, si se sabe que se selecciono una mujer?

Procedimiento:
1.E1= Es el evento ser mujer
2.E2= Es el evento haber iniciado estudios medios.
3.La probabilidad de que la persona seleccionada haya iniciado estudios medios y sea mujer, es:


4.La probabilidad de que la persona sea mujer, es:


5.La probabilidad de que el obrero seleccionado haya iniciado estudios medios dado que es mujer, es:

6.Interpretación: La probabilidad de que al seleccionar al azar un obrero que haya iniciado
estudios medios dado que es mujer es de 0,5.

EVENTOS DEPENDIENTES:
Dos o más eventos son dependientes cuando el conocimiento de la verificación de uno de ellos, altera la probabilidad de verificación del o de los otros.

La fórmula para calcular la probabilidad de eventos dependientes, es, si los eventos son: E1 y E2:

EJEMPLOS:

Una caja contiene 5 bolas blancas y 3 negras. Se hace una primera extracción y sale una bola blanca. ¿Cuál es la probabilidad de que en una segunda extracción sin reemplazo salga otra bola blanca?

Procedimiento:
1.E1= Es el evento primera extracción de una bola blanca.
2.E2= Es el evento segunda extracción de una bola blanca.
3.Se calcula la probabilidad de extraer una bola blanca.

4.Se halla la probabilidad de sacar una bola blanca en una segunda extracción dado que en la primera extracción salió blanca y no hubo reemplazamiento.

TEOREMA DE LA ELIMINACIÓN:

Existen situaciones en que nos interesa conocer la probabilidad de en evento final que sea dependiente de la aparición o no aparición de eventos en las etapas intermedias de un experimento. Estos casos se resuelven por el teorema de la eliminación.

, son los eventos mutuamente excluyentes, su unión es el espacio muestral, cada uno con probabilidades positivas. La fórmula para que un evento E, que debe aparecer con cada uno de esos eventos mutuamente excluyentes, es:


EJEMPLO:

Se lanza un dado una sola vez. Si aparece un 1, se selecciona una tarjeta de la caja I. Si aparece un 3 o un 5, se selecciona una tarjeta de la caja II y si sale un número par, se selecciona una tarjeta de la caja número III. ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar dos tarjetas verdes, sin reemplazo?

Caja I: Hay 5 tarjetas Blancas, 3 Verdes y 2 Rojas.
Caja II: Hay 3 tarjetas Blancas, 2 Verdes y 5 Rojas.
Caja III: Hay 1 tarjeta Blancas, 6 Verdes y 3 Rojas.

Eventos:
H1: Que al lanzar un dado salga un 1.
H2: Que al lanzar un dado salga un 3 o un 5.
H3: Que al lanzar un dado salga un número par.
E: Que al seleccionar dos tarjetas sean Verdes.

Por lo tanto, en cada una de las cajas hay tarjetas verdes. Entonces, debemos obtener la probabilidad de que la tarjeta obtenida venga de cada una de las cajas. Es decir, .

Para ello, obtenemos cada una de las probabilidades de cada uno de los eventos:

Caja I: La probabilidad de que salga escogida la primera caja es . Además, la probabilidad de que en la primera extracción salga una tarjeta verde es , y que en la segunda extracción dado que la primera fue verde la probabilidad es .

Caja II: La probabilidad de que salga escogida la segunda caja es . Además, la probabilidad de que en la primera extracción salga una tarjeta verde es , y que en la segunda extracción dado que la primera fue verde la probabilidad es .

Caja III: La probabilidad de que salga escogida la tercera caja es . Además, la probabilidad de que en la primera extracción salga una tarjeta verde es , y que en la segunda extracción dado que la primera fue verde la probabilidad es .

La probabilidad de seleccionar dos tarjetas verdes dado que provengan de la caja número I, es:
La probabilidad de seleccionar dos tarjetas verdes dado que provengan de la caja número II, es:
La probabilidad de seleccionar dos tarjetas verdes dado que provengan de la caja número II, es:
La probabilidad de seleccionar dos tarjetas verdes, es:


TEOREMA DE BAYES:

Se utiliza cuando dado un evento final, se desea conocer su origen o procedencia. Este teorema es el inverso del teorema de la eliminación.

Si , son eventos mutuamente excluyentes, cuya unión es el espacio muestral y si E es un evento definido en ese espacio muestral tal que , la Probabilidad de H1 dado E, es:

EJEMPLO:

En el ejemplo de teorema de la eliminación , se halló la probabilidad de seleccionar aleatoriamente sin reemplazo, dos tarjetas verdes. Ahora nos interesa conocer la probabilidad de que las dos tarjetas verdes provengan de cada una de las cajas.

La probabilidad de que las dos tarjetas verdes provengan de la caja I:
La probabilidad de que las dos tarjetas verdes provengan de la caja II:
La probabilidad de que las dos tarjetas verdes provengan de la caja III:

lunes, 7 de septiembre de 2009

sucesos y eventos

Evento estadístico

En estadística, un evento o suceso es un subconjunto de un espacio muestral, es decir, un

conjunto de posibles resultados que se pueden dar en un experimento aleatorio.

Formalmente, sea Ω un espacio muestral, entonces un evento es un subconjunto , donde

(w1,w2,...) son una serie de posibles resultados.

Se dice que un evento A ocurre, si el resultado del experimento aleatorio es un elemento de A.

Contenido
1 Tipos de eventos

1.1 Evento o suceso elemental

1.2 Otros sucesos

Tipos de eventos

1.1Evento o suceso elemental
Un suceso o evento elemental es un subconjunto del espacio muestral

que contiene un único elemento.

Ejemplos de espacios muestrales y sucesos elementales:

Si se trata de contar objetos y el espacio muestral S = {0, 1, 2, 3, ...} (los números naturales),

entonces los sucesos elementales son cada uno de los conjuntos {k}, donde k ∈ N.

Si se lanza una moneda dos veces, S = {cc, cs, sc, ss}, donde (c representa "sale cara" y s, "sale

cruz"), los sucesos elementales son {cc}, {cs}, {sc} y {ss}.

Si X es una variable aleatoria normalmente distribuida, S = (-∞, +∞), los números reales, los

sucesos elementales son todos los conjuntos {x}, donde x ∈ .

Los sucesos elementales pueden tener probabilidades que son estrictamente mayores que cero,

cero, no definidas o cualquier combinación de estas. Por ejemplo, la probabilidad de cualquier

variable aleatoria discreta está determinada por las probabilidades asignadas a los sucesos

elementales del experimento que determina la variable. Por otra parte, cualquier suceso

elemental tiene probabilidad cero en cualquier variable aleatoria continua. Existen distribuciones

mixtas que no son completamente continuas, ni completamente discretas, entre las que pueden

darse ambas situaciones.

1.2 Otros sucesos
Un evento compuesto es un subconjunto .

Los eventos triviales son el conjunto universal Ω y el conjunto vacío. Al primero se le llama

también evento seguro, y al segundo, evento imposible.

Sean dos eventos A y B, si ambos son conjuntos disjuntos, entonces ellos son eventos

excluyentes.

Un evento con elementos infinitos pero numerables se llama σ-álgebra (sigma-álgebra), y un

evento con elementos finitos se llama álgebra de sucesos de Boole.


Propiedades
Dados dos eventos A y B, entonces:

El evento ocurre si A y B ocurren.

El evento ocurre si por lo menos ocurre A o B.

martes, 1 de septiembre de 2009

PROBABILIDAD


SUCESOS ALEATORIOS

Experimento aleatorio: es aquel que se caracteriza porque al repetirlo bajo análogas condiciones


jamás se puede predecir el resultado que se va a obtener. En caso contrario se llama


experimento determinista.

Espacio muestral E: ( de un experimento aleatorio ) es el conjunto de todos los resultados


posibles del experimento .

Suceso de un experimento aleatorio: es un subconjunto del espacio muestral. Puede haber los


siguientes tipos:


- suceso elemental


- suceso compuesto ( de varios sucesos elementales )


- suceso seguro


- suceso imposible


- suceso contrario

Operaciones con sucesos:


· Unión de sucesos : la unión de dos sucesos A y B es el suceso que se realiza cuando se


realiza A ó B


· Intersección de sucesos : la intersección de A y B es el suceso que se realiza cuando se


realizan simultáneamente los sucesos A y B . Cuando es imposible que los sucesos se realicen


simultáneamente se dice que son incompatibles . Si . En caso contrario se dice que son


compatibles.

Sistema completo de sucesos : Se dice que un conjunto de suceesos A1 , A2 .......constituyen un


sistema completo cuando se verifica :


- A1 A2 ........=E


- A1, A2, .....son incompatibles 2 a 2 .


A1 A2 ............. An
















PROBABILIDAD

Ley de los grandes números : La frecuencia relativa de un suceso tiende a estabilizarse en torno


a un número , a medida que el número de pruebas del experimento crece indefinidamente . Este


número lo llamaremos probabilidad de un suceso.

Definición clásica de probabilidad: (regla de Laplace)
( para aplicar esta definición se supone que los sucesos elementales son equiprobables )

Definición axiomática de probabilidad: ( Kolmogorov ) Se llama probabilidad a una ley que asocia a cada suceso A un número real que cumple los siguientes axiomas :
1. La probabilidad de un suceso cualquiera del espacio de sucesos siempre es positiva , es decir p(A) 0
2. La probabilidad del suceso seguro es 1 , es decir , p(E) = 1
3. La probabilidad de la unión de sucesos incompatibles es igual a la suma de probabilidades de cada uno de ellos , o sea , p(A B) = p(A) + p(B)

Consecuencias de los axiomas:
- p( ) = 1 - P(A)
- p( ) = 0
-
- Si A
- Si los suceso son compatibles : p(A B) = p(A) + p(B) - p(A B)
Para el caso de tres sucesos compatibles sería:
P (A B C) = p(A) + p(B) + p(C) - p(A B) - p(A C) - p(B C) + p(A B C)

Probabilidad condicionada p(A/B) : Se llama probabilidad del suceso A condicioniado por B a la probabilidad de que se cumpla A una vez que se ha verificado el B .
P (A/B) =

A B
a b c


p (A B) = p(B) = p(A/B) =

Otra forma de ver la fórmula es :
P (A B) = p (B) · p(A/B) = p(A) · p(B/A) = p(B A)

Generalizando: p (A B C) = p (A) · p (B/A) · p (C/A B)




Ejemplo:


Hombres
Mujeres

Fuman
70
40
110
No Fuman
20
30
50

90
70
160

P (H) = 90/160 p(M) = 70/160 p(F) = 110/160 p(NF) = 50/160

P (H/NF) = 20/50 p(H/F) = 70/110 p(M/NF) = 30/50 p(M/F) = 40/110

P (H F) = 70/160 = p(F) · p(H/F) = (110/160) · (70/110)

Lo mismo se podría hacer con color de ojos (marrones y azules) y color de pelo (rubio y castaño).

Sucesos independientes: dos sucesos A y B se dice que son independientes si
p(A) = p(A/B). En caso contrario, p(A) p(A/B), se dice que son dependientes .

Probabilidad de la intersección o probabilidad compuesta:
- Si los sucesos son dependientes p(A B) = p(A) · p(B/A) = p(B) · p(A/B)
- Si los sucesos son independientes p(A B) = p(A) · p(B)

Ejemplo: si al extraer dos cartas de una baraja lo hacemos con devolución tendremos dos sucesos independientes, p(A B) = p(A) · p (B) pero si lo hacemos sin devolución ahora si son dependientes p(A B) = p(A) · p(B/A) .

Teorema de la probabilidad total: sea un sistema completo de sucesos y sea un suceso B tal que p (B/Ai) son conocidas, entonces:
P (B) = p (B A1) + p(B A2) + .........=

A1 A2 A3 A4

B

B




Teorema de Bayes: sea un sistema completo de sucesos y sea un suceso B tal que
p (B/Ai) son conocidas , entonces :




Ejemplo importante : Se va a realizar el siguiente experimento , se tira una moneda , si sale cara se saca una bola de una urna en la que hay 4 bolas negras , 3 turquesa y 3 amarillas , si sale cruz se saca una bola de otra urna en la que hay 5 bolas negras , 2 turquesa y 3 amarillas .

NNNN
TTT
AAA


Cara ----------------------
NNNNN
TT
AAA

Cruz ----------------------




N 4/10 p (Cara N) = 1/2 · 4/10 = 4/20
Cara 1/2 T 3/10 p (Cara T) = 1/2 · 3/10 = 3/20
A 3/10 p (Cara A) = 1/2 · 3/10 = 3/20

N 5/10 p (Cruz N) = 1/2 · 5/10 = 5/20
Cruz 1/2 T 2/10 p (Cruz T) = 1/2 · 2/10 = 2/20
A 3/10 p (Cruz A) = 1/2 · 3/10 = 3/20

Tª de la probabilidad total: p(N) = p (Cara N) + p (Cruz N) = 4/20 + 5/20 = 9/20

Tª de Bayes: p (Cara/N) = que no es ni más ni menos que casos favorables entre casos posibles.