SUCESOS O EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES: Dos o más sucesos son mutuamente
excluyentes si la ocurrencia de uno cualquiera de ellos, imposibilita la ocurrencia de los otros.
De la teoría de conjuntos se sabe que dos o más conjuntos que no tengan puntos muéstrales en común su intersección es nula.
La probabilidad de ocurrencia de E1 o E2, es la suma de las probabilidades de cada uno.
EVENTOS SOLAPADOS: Dos eventos E1 y E2, son solapados si tienen puntos muéstrales comunes, los puntos muéstrales comunes a E1 y E2, forman un subconjunto llamado intersección de E1 y E2, y se representa por E1 E2.
La fórmula para calcular la probabilidad de dos eventos solapados es:
Donde:
Fórmula para tres eventos solapados:
EVENTOS COMPLEMENTARIOS: Dos eventos E1 y E2, son complementarios si el segundo es un subconjunto que contiene todos los puntos muéstrales del espacio muestral que no están en el primero. Los eventos complementarios, son a su vez mutuamente excluyentes:
S, representa el espacio muestral
, es el complementario de E, es decir, es lo que le falta a E, para se igual a S.
, se lee complementario de E ó “No E”
La probabilidad del espacio muestral es 1;
=
EVENTOS INDEPENDIENTES: Dos eventos E1 y E2 son independientes cuando la ocurrencia o no ocurrencia de uno de ellos en una prueba, no afecta la probabilidad del otro en cualquier otra prueba.
En el lanzamiento de una moneda la probabilidad de obtener cara es ½ y la probabilidad de obtener otra cara en otra prueba, es también ½. Por lo que los dos eventos E1 y E2.
La fórmula para buscar la probabilidad de que E1 y E2, aparezcan cuando sean independientes es:
EJEMPLO:
I. Se lanzan dos dados simultáneamente. Uno verde y uno rojo. ¿Cuál es la probabilidad de que
Procedimiento:
1. Se construye el espacio muestral (en un diagrama cartesiano), señalando los puntos muéstrales para cada dado.
2. Para el dado rojo existen 12 puntos muéstrales, que resultan de la combinación (1 y 2) con los puntos (1, 2, 3, 4, 5,6) del dado verde.
3. Para el dado verde existen 18 puntos muéstrales al combinar los puntos (4, 5 y 6), con los (1, 2, 3, 4, 5, 6) del dado rojo.
4. Se calcula la probabilidad para cada evento:
5. Se sustituye en la fórmula para eventos independientes:
6. También se obtiene el mismo resultado dividiendo los puntos muéstrales de la intersección de los dos eventos, por la cantidad de puntos muéstrales del espacio muestral.
7. Interpretación: Si se lanzan dos dados simultáneamente, uno rojo y otro verde, la probabilidad de que el verde muestre una cara con números mayores o iguales a 4 y el rojo, menores o iguales a dos, es de 1/6.
PROBABILIDAD CONDICIONAL: La probabilidad de que ocurra el evento E1, dado que el evento E2 ha ocurrido, se llama probabilidad condicional del evento E1. Se representa por y se lee “probabilidad de E1 dado E2”, y se determina a través de la expresión:
Es la cantidad de puntos muéstrales de la intersección de E1 y E2.
Es la cantidad de puntos muéstrales del evento E2.
EJEMPLOS:
Con los datos del problema 2, calcular la probabilidad de que una alumna sea seleccionada dado que la persona seleccionada estudie segundo año del C.B.C. del instituto en referencia.
Procedimiento:
1.H: es el evento ser alumna.
2.E2: Es el evento ser estudiante de segundo año.
3.Se pide la probabilidad de H dado E2:
4.Se aplica la fórmula para probabilidad condicional.
5.Interpretación: La probabilidad de que una alumna sea seleccionada dado de que sea de segundo año, es igual a 5/12.
EJEMPLO:
De la aplicación de una encuesta en una empresa de la Región Central, se sabe que el 40% de los obreros son mujeres y que el 20% de todas las obreras han iniciado estudios medios. ¿Qué probabilidad existe de que al seleccionar un obrero en forma aleatoria, hayan iniciado estudios medios, si se sabe que se selecciono una mujer?
Procedimiento:
1.E1= Es el evento ser mujer
2.E2= Es el evento haber iniciado estudios medios.
3.La probabilidad de que la persona seleccionada haya iniciado estudios medios y sea mujer, es:
4.La probabilidad de que la persona sea mujer, es:
5.La probabilidad de que el obrero seleccionado haya iniciado estudios medios dado que es mujer, es:
6.Interpretación: La probabilidad de que al seleccionar al azar un obrero que haya iniciado
estudios medios dado que es mujer es de 0,5.
EVENTOS DEPENDIENTES:
Dos o más eventos son dependientes cuando el conocimiento de la verificación de uno de ellos, altera la probabilidad de verificación del o de los otros.
La fórmula para calcular la probabilidad de eventos dependientes, es, si los eventos son: E1 y E2:
EJEMPLOS:
Una caja contiene 5 bolas blancas y 3 negras. Se hace una primera extracción y sale una bola blanca. ¿Cuál es la probabilidad de que en una segunda extracción sin reemplazo salga otra bola blanca?
Procedimiento:
1.E1= Es el evento primera extracción de una bola blanca.
2.E2= Es el evento segunda extracción de una bola blanca.
3.Se calcula la probabilidad de extraer una bola blanca.
4.Se halla la probabilidad de sacar una bola blanca en una segunda extracción dado que en la primera extracción salió blanca y no hubo reemplazamiento.
TEOREMA DE LA ELIMINACIÓN:
Existen situaciones en que nos interesa conocer la probabilidad de en evento final que sea dependiente de la aparición o no aparición de eventos en las etapas intermedias de un experimento. Estos casos se resuelven por el teorema de la eliminación.
, son los eventos mutuamente excluyentes, su unión es el espacio muestral, cada uno con probabilidades positivas. La fórmula para que un evento E, que debe aparecer con cada uno de esos eventos mutuamente excluyentes, es:
EJEMPLO:
Se lanza un dado una sola vez. Si aparece un 1, se selecciona una tarjeta de la caja I. Si aparece un 3 o un 5, se selecciona una tarjeta de la caja II y si sale un número par, se selecciona una tarjeta de la caja número III. ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar dos tarjetas verdes, sin reemplazo?
Caja I: Hay 5 tarjetas Blancas, 3 Verdes y 2 Rojas.
Caja II: Hay 3 tarjetas Blancas, 2 Verdes y 5 Rojas.
Caja III: Hay 1 tarjeta Blancas, 6 Verdes y 3 Rojas.
Eventos:
H1: Que al lanzar un dado salga un 1.
H2: Que al lanzar un dado salga un 3 o un 5.
H3: Que al lanzar un dado salga un número par.
E: Que al seleccionar dos tarjetas sean Verdes.
Por lo tanto, en cada una de las cajas hay tarjetas verdes. Entonces, debemos obtener la probabilidad de que la tarjeta obtenida venga de cada una de las cajas. Es decir, .
Para ello, obtenemos cada una de las probabilidades de cada uno de los eventos:
Caja I: La probabilidad de que salga escogida la primera caja es . Además, la probabilidad de que en la primera extracción salga una tarjeta verde es , y que en la segunda extracción dado que la primera fue verde la probabilidad es .
Caja II: La probabilidad de que salga escogida la segunda caja es . Además, la probabilidad de que en la primera extracción salga una tarjeta verde es , y que en la segunda extracción dado que la primera fue verde la probabilidad es .
Caja III: La probabilidad de que salga escogida la tercera caja es . Además, la probabilidad de que en la primera extracción salga una tarjeta verde es , y que en la segunda extracción dado que la primera fue verde la probabilidad es .
La probabilidad de seleccionar dos tarjetas verdes dado que provengan de la caja número I, es:
La probabilidad de seleccionar dos tarjetas verdes dado que provengan de la caja número II, es:
La probabilidad de seleccionar dos tarjetas verdes dado que provengan de la caja número II, es:
La probabilidad de seleccionar dos tarjetas verdes, es:
TEOREMA DE BAYES:
Se utiliza cuando dado un evento final, se desea conocer su origen o procedencia. Este teorema es el inverso del teorema de la eliminación.
Si , son eventos mutuamente excluyentes, cuya unión es el espacio muestral y si E es un evento definido en ese espacio muestral tal que , la Probabilidad de H1 dado E, es:
EJEMPLO:
En el ejemplo de teorema de la eliminación , se halló la probabilidad de seleccionar aleatoriamente sin reemplazo, dos tarjetas verdes. Ahora nos interesa conocer la probabilidad de que las dos tarjetas verdes provengan de cada una de las cajas.
La probabilidad de que las dos tarjetas verdes provengan de la caja I:
La probabilidad de que las dos tarjetas verdes provengan de la caja II:
La probabilidad de que las dos tarjetas verdes provengan de la caja III:
De la teoría de conjuntos se sabe que dos o más conjuntos que no tengan puntos muéstrales en común su intersección es nula.
La probabilidad de ocurrencia de E1 o E2, es la suma de las probabilidades de cada uno.
EVENTOS SOLAPADOS: Dos eventos E1 y E2, son solapados si tienen puntos muéstrales comunes, los puntos muéstrales comunes a E1 y E2, forman un subconjunto llamado intersección de E1 y E2, y se representa por E1 E2.
La fórmula para calcular la probabilidad de dos eventos solapados es:
Donde:
Fórmula para tres eventos solapados:
EVENTOS COMPLEMENTARIOS: Dos eventos E1 y E2, son complementarios si el segundo es un subconjunto que contiene todos los puntos muéstrales del espacio muestral que no están en el primero. Los eventos complementarios, son a su vez mutuamente excluyentes:
S, representa el espacio muestral
, es el complementario de E, es decir, es lo que le falta a E, para se igual a S.
, se lee complementario de E ó “No E”
La probabilidad del espacio muestral es 1;
=
EVENTOS INDEPENDIENTES: Dos eventos E1 y E2 son independientes cuando la ocurrencia o no ocurrencia de uno de ellos en una prueba, no afecta la probabilidad del otro en cualquier otra prueba.
En el lanzamiento de una moneda la probabilidad de obtener cara es ½ y la probabilidad de obtener otra cara en otra prueba, es también ½. Por lo que los dos eventos E1 y E2.
La fórmula para buscar la probabilidad de que E1 y E2, aparezcan cuando sean independientes es:
EJEMPLO:
I. Se lanzan dos dados simultáneamente. Uno verde y uno rojo. ¿Cuál es la probabilidad de que
Procedimiento:
1. Se construye el espacio muestral (en un diagrama cartesiano), señalando los puntos muéstrales para cada dado.
2. Para el dado rojo existen 12 puntos muéstrales, que resultan de la combinación (1 y 2) con los puntos (1, 2, 3, 4, 5,6) del dado verde.
3. Para el dado verde existen 18 puntos muéstrales al combinar los puntos (4, 5 y 6), con los (1, 2, 3, 4, 5, 6) del dado rojo.
4. Se calcula la probabilidad para cada evento:
5. Se sustituye en la fórmula para eventos independientes:
6. También se obtiene el mismo resultado dividiendo los puntos muéstrales de la intersección de los dos eventos, por la cantidad de puntos muéstrales del espacio muestral.
7. Interpretación: Si se lanzan dos dados simultáneamente, uno rojo y otro verde, la probabilidad de que el verde muestre una cara con números mayores o iguales a 4 y el rojo, menores o iguales a dos, es de 1/6.
PROBABILIDAD CONDICIONAL: La probabilidad de que ocurra el evento E1, dado que el evento E2 ha ocurrido, se llama probabilidad condicional del evento E1. Se representa por y se lee “probabilidad de E1 dado E2”, y se determina a través de la expresión:
Es la cantidad de puntos muéstrales de la intersección de E1 y E2.
Es la cantidad de puntos muéstrales del evento E2.
EJEMPLOS:
Con los datos del problema 2, calcular la probabilidad de que una alumna sea seleccionada dado que la persona seleccionada estudie segundo año del C.B.C. del instituto en referencia.
Procedimiento:
1.H: es el evento ser alumna.
2.E2: Es el evento ser estudiante de segundo año.
3.Se pide la probabilidad de H dado E2:
4.Se aplica la fórmula para probabilidad condicional.
5.Interpretación: La probabilidad de que una alumna sea seleccionada dado de que sea de segundo año, es igual a 5/12.
EJEMPLO:
De la aplicación de una encuesta en una empresa de la Región Central, se sabe que el 40% de los obreros son mujeres y que el 20% de todas las obreras han iniciado estudios medios. ¿Qué probabilidad existe de que al seleccionar un obrero en forma aleatoria, hayan iniciado estudios medios, si se sabe que se selecciono una mujer?
Procedimiento:
1.E1= Es el evento ser mujer
2.E2= Es el evento haber iniciado estudios medios.
3.La probabilidad de que la persona seleccionada haya iniciado estudios medios y sea mujer, es:
4.La probabilidad de que la persona sea mujer, es:
5.La probabilidad de que el obrero seleccionado haya iniciado estudios medios dado que es mujer, es:
6.Interpretación: La probabilidad de que al seleccionar al azar un obrero que haya iniciado
estudios medios dado que es mujer es de 0,5.
EVENTOS DEPENDIENTES:
Dos o más eventos son dependientes cuando el conocimiento de la verificación de uno de ellos, altera la probabilidad de verificación del o de los otros.
La fórmula para calcular la probabilidad de eventos dependientes, es, si los eventos son: E1 y E2:
EJEMPLOS:
Una caja contiene 5 bolas blancas y 3 negras. Se hace una primera extracción y sale una bola blanca. ¿Cuál es la probabilidad de que en una segunda extracción sin reemplazo salga otra bola blanca?
Procedimiento:
1.E1= Es el evento primera extracción de una bola blanca.
2.E2= Es el evento segunda extracción de una bola blanca.
3.Se calcula la probabilidad de extraer una bola blanca.
4.Se halla la probabilidad de sacar una bola blanca en una segunda extracción dado que en la primera extracción salió blanca y no hubo reemplazamiento.
TEOREMA DE LA ELIMINACIÓN:
Existen situaciones en que nos interesa conocer la probabilidad de en evento final que sea dependiente de la aparición o no aparición de eventos en las etapas intermedias de un experimento. Estos casos se resuelven por el teorema de la eliminación.
, son los eventos mutuamente excluyentes, su unión es el espacio muestral, cada uno con probabilidades positivas. La fórmula para que un evento E, que debe aparecer con cada uno de esos eventos mutuamente excluyentes, es:
EJEMPLO:
Se lanza un dado una sola vez. Si aparece un 1, se selecciona una tarjeta de la caja I. Si aparece un 3 o un 5, se selecciona una tarjeta de la caja II y si sale un número par, se selecciona una tarjeta de la caja número III. ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar dos tarjetas verdes, sin reemplazo?
Caja I: Hay 5 tarjetas Blancas, 3 Verdes y 2 Rojas.
Caja II: Hay 3 tarjetas Blancas, 2 Verdes y 5 Rojas.
Caja III: Hay 1 tarjeta Blancas, 6 Verdes y 3 Rojas.
Eventos:
H1: Que al lanzar un dado salga un 1.
H2: Que al lanzar un dado salga un 3 o un 5.
H3: Que al lanzar un dado salga un número par.
E: Que al seleccionar dos tarjetas sean Verdes.
Por lo tanto, en cada una de las cajas hay tarjetas verdes. Entonces, debemos obtener la probabilidad de que la tarjeta obtenida venga de cada una de las cajas. Es decir, .
Para ello, obtenemos cada una de las probabilidades de cada uno de los eventos:
Caja I: La probabilidad de que salga escogida la primera caja es . Además, la probabilidad de que en la primera extracción salga una tarjeta verde es , y que en la segunda extracción dado que la primera fue verde la probabilidad es .
Caja II: La probabilidad de que salga escogida la segunda caja es . Además, la probabilidad de que en la primera extracción salga una tarjeta verde es , y que en la segunda extracción dado que la primera fue verde la probabilidad es .
Caja III: La probabilidad de que salga escogida la tercera caja es . Además, la probabilidad de que en la primera extracción salga una tarjeta verde es , y que en la segunda extracción dado que la primera fue verde la probabilidad es .
La probabilidad de seleccionar dos tarjetas verdes dado que provengan de la caja número I, es:
La probabilidad de seleccionar dos tarjetas verdes dado que provengan de la caja número II, es:
La probabilidad de seleccionar dos tarjetas verdes dado que provengan de la caja número II, es:
La probabilidad de seleccionar dos tarjetas verdes, es:
TEOREMA DE BAYES:
Se utiliza cuando dado un evento final, se desea conocer su origen o procedencia. Este teorema es el inverso del teorema de la eliminación.
Si , son eventos mutuamente excluyentes, cuya unión es el espacio muestral y si E es un evento definido en ese espacio muestral tal que , la Probabilidad de H1 dado E, es:
EJEMPLO:
En el ejemplo de teorema de la eliminación , se halló la probabilidad de seleccionar aleatoriamente sin reemplazo, dos tarjetas verdes. Ahora nos interesa conocer la probabilidad de que las dos tarjetas verdes provengan de cada una de las cajas.
La probabilidad de que las dos tarjetas verdes provengan de la caja I:
La probabilidad de que las dos tarjetas verdes provengan de la caja II:
La probabilidad de que las dos tarjetas verdes provengan de la caja III:
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