PROBABILIDAD

SUCESOS ALEATORIOS

Experimento aleatorio: es aquel que se caracteriza porque al repetirlo bajo análogas condiciones

jamás se puede predecir el resultado que se va a obtener. En caso contrario se llama

experimento determinista.

Espacio muestral E: ( de un experimento aleatorio ) es el conjunto de todos los resultados

posibles del experimento .

Suceso de un experimento aleatorio: es un subconjunto del espacio muestral. Puede haber los

siguientes tipos:

- suceso elemental

- suceso compuesto ( de varios sucesos elementales )

- suceso seguro

- suceso imposible

- suceso contrario

Operaciones con sucesos:

· Unión de sucesos : la unión de dos sucesos A y B es el suceso que se realiza cuando se

realiza A ó B

· Intersección de sucesos : la intersección de A y B es el suceso que se realiza cuando se

realizan simultáneamente los sucesos A y B . Cuando es imposible que los sucesos se realicen

simultáneamente se dice que son incompatibles . Si . En caso contrario se dice que son

compatibles.

Sistema completo de sucesos : Se dice que un conjunto de suceesos A1 , A2 .......constituyen un

sistema completo cuando se verifica :

- A1 A2 ........=E

- A1, A2, .....son incompatibles 2 a 2 .

A1 A2 ............. An
















PROBABILIDAD

Ley de los grandes números : La frecuencia relativa de un suceso tiende a estabilizarse en torno

a un número , a medida que el número de pruebas del experimento crece indefinidamente . Este

número lo llamaremos probabilidad de un suceso.

Definición clásica de probabilidad: (regla de Laplace)
( para aplicar esta definición se supone que los sucesos elementales son equiprobables )

Definición axiomática de probabilidad: ( Kolmogorov ) Se llama probabilidad a una ley que asocia a cada suceso A un número real que cumple los siguientes axiomas :
1. La probabilidad de un suceso cualquiera del espacio de sucesos siempre es positiva , es decir p(A) 0
2. La probabilidad del suceso seguro es 1 , es decir , p(E) = 1
3. La probabilidad de la unión de sucesos incompatibles es igual a la suma de probabilidades de cada uno de ellos , o sea , p(A B) = p(A) + p(B)

Consecuencias de los axiomas:
- p( ) = 1 - P(A)
- p( ) = 0
-
- Si A
- Si los suceso son compatibles : p(A B) = p(A) + p(B) - p(A B)
Para el caso de tres sucesos compatibles sería:
P (A B C) = p(A) + p(B) + p(C) - p(A B) - p(A C) - p(B C) + p(A B C)

Probabilidad condicionada p(A/B) : Se llama probabilidad del suceso A condicioniado por B a la probabilidad de que se cumpla A una vez que se ha verificado el B .
P (A/B) =

A B
a b c


p (A B) = p(B) = p(A/B) =

Otra forma de ver la fórmula es :
P (A B) = p (B) · p(A/B) = p(A) · p(B/A) = p(B A)

Generalizando: p (A B C) = p (A) · p (B/A) · p (C/A B)




Ejemplo:


Hombres
Mujeres

Fuman
70
40
110
No Fuman
20
30
50

90
70
160

P (H) = 90/160 p(M) = 70/160 p(F) = 110/160 p(NF) = 50/160

P (H/NF) = 20/50 p(H/F) = 70/110 p(M/NF) = 30/50 p(M/F) = 40/110

P (H F) = 70/160 = p(F) · p(H/F) = (110/160) · (70/110)

Lo mismo se podría hacer con color de ojos (marrones y azules) y color de pelo (rubio y castaño).

Sucesos independientes: dos sucesos A y B se dice que son independientes si
p(A) = p(A/B). En caso contrario, p(A) p(A/B), se dice que son dependientes .

Probabilidad de la intersección o probabilidad compuesta:
- Si los sucesos son dependientes p(A B) = p(A) · p(B/A) = p(B) · p(A/B)
- Si los sucesos son independientes p(A B) = p(A) · p(B)

Ejemplo: si al extraer dos cartas de una baraja lo hacemos con devolución tendremos dos sucesos independientes, p(A B) = p(A) · p (B) pero si lo hacemos sin devolución ahora si son dependientes p(A B) = p(A) · p(B/A) .

Teorema de la probabilidad total: sea un sistema completo de sucesos y sea un suceso B tal que p (B/Ai) son conocidas, entonces:
P (B) = p (B A1) + p(B A2) + .........=

A1 A2 A3 A4

B

B




Teorema de Bayes: sea un sistema completo de sucesos y sea un suceso B tal que
p (B/Ai) son conocidas , entonces :




Ejemplo importante : Se va a realizar el siguiente experimento , se tira una moneda , si sale cara se saca una bola de una urna en la que hay 4 bolas negras , 3 turquesa y 3 amarillas , si sale cruz se saca una bola de otra urna en la que hay 5 bolas negras , 2 turquesa y 3 amarillas .

NNNN
TTT
AAA


Cara ----------------------
NNNNN
TT
AAA

Cruz ----------------------




N 4/10 p (Cara N) = 1/2 · 4/10 = 4/20
Cara 1/2 T 3/10 p (Cara T) = 1/2 · 3/10 = 3/20
A 3/10 p (Cara A) = 1/2 · 3/10 = 3/20

N 5/10 p (Cruz N) = 1/2 · 5/10 = 5/20
Cruz 1/2 T 2/10 p (Cruz T) = 1/2 · 2/10 = 2/20
A 3/10 p (Cruz A) = 1/2 · 3/10 = 3/20

Tª de la probabilidad total: p(N) = p (Cara N) + p (Cruz N) = 4/20 + 5/20 = 9/20

Tª de Bayes: p (Cara/N) = que no es ni más ni menos que casos favorables entre casos posibles.